制限三体問題のラグランジアンとハミルトニアン
2025-05-19
カテゴリ：天体力学
円制限三体問題のラグランジアンとハミルトニアンを導出とともに紹介する。どんな天体力学の教科書にも載っているが、平面であったり、いわゆる \( G = 1 \)の規格化がなされていたりするなど、計算の出発点としては不向きでない形になっていることがある。ここでは、冗長ではあるが「あとからリダクションできる」ように書くことを試みる。
ゼロ質量天体の慣性系での位置ベクトルを \(\pmb{\rho}\)、回転系でのそれを \(\pmb{r} = (x,y,z)^T \) とする。
この天体とラグランジアンは以下の通りになる。
\[
{\cal L} = \frac{1}{2}\dot{\pmb{\rho}}^T\dot{\pmb{\rho}} + \frac{Gm_0}{r_{02}} + \frac{Gm_1}{r_{12}} \tag{2}
\]
天体間の距離\(r_{02}, r_{12}\)は最初から回転系で書いたため、時間を露わに含まない。具体的な表式は
\[
\begin{eqnarray}
&& \pmb r_{02} = (x + \mu a_0,\, y,\, z)^T,\qquad \pmb r_{12} = (x - (1 - \mu) a_0,\, y,\, z)^T \\
&& r_{02} = \sqrt{(x + \mu a_0)^2 + y^2 + z^2},\qquad r_{12} = \sqrt{(x - (1 - \mu) a_0)^2 + y^2 + z^2} \tag{3}
\end{eqnarray}
\]
である。残る \( \dot{\pmb{\rho}}^T\dot{\pmb{\rho}} \) を \(\pmb r, \dot{\pmb r}\) で表せば、回転系で書かれた
ラグランジアンになる。\( \pmb{\rho} \)から \( \pmb r \)への変換は回転行列を用いて、
\[
\pmb{\rho} = R(n_{01} t) \pmb r,\quad
R(\theta) = \left(\begin{array}{cc} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{array}\right) \tag{4}
\]
と書ける。三角関数を微分すると位相が\(90^\circ\)進むことに注意して、回転演算として抽象的に扱うとこの計算がいくぶん簡単になる。
ここでは、以下の2つの性質を用いる。
\[
\begin{eqnarray}
&& R^T(\theta)R(\theta) = R(\theta)R^T(\theta) = I \tag{5}\\
&& \frac{d}{dt}R(n_{01} t) = nR(n_{01} t + 90^\circ)I_{1,2} = nR(n_{01} t)R(90^\circ)I_{1,2} =: nR(n_o t)J,\quad
J = \left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
\tag{6}
\end{eqnarray}
\]
ここで、単位行列\(I\)の(3,3)成分を0としたものを\( I_{1,2} \) と書いた。
行列\(J\)で位相を\(90^\circ\)進める操作と第3成分を刈り取る操作をまとめてあらわしている。
\[
\begin{eqnarray}
\dot{\pmb{\rho}} &=& R\dot{\pmb r} + \frac{d}{dt}R(nt){\pmb r} = R \dot{\pmb r} + nR(nt)J{\pmb r} = R(\dot{\pmb r} + nJ{\pmb r}) \\
\dot{\pmb{\rho}}^T\dot{\pmb{\rho}}
&=& (\dot{\pmb{r}} + nJr)^T R^T R (\dot{\pmb{r}} + nJr)
= (\dot{\pmb{r}} + nJr)^T (\dot{\pmb{r}} + nJr) \\
&=& \|\dot{\pmb r}\|^2 + n\dot{\pmb r}^TJ{\pmb r} + n{\pmb r}^TJ^T\dot{\pmb r} + n^2{\pmb r}^TJ^TJ{\pmb r} \\
&=& \|\dot{\pmb r}\|^2 + 2n(x\dot y - y\dot x) + n^2(x^2 + y^2)
\end{eqnarray}
\]
したがって、回転系のラグランジアンは以下のように求まる。
\[
{\cal L} = \frac{1}{2}(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2) + \frac{1}{2}n_{01}^2(x^2 + y^2) + n_{01}(x\dot y - y\dot x) + \frac{Gm_0}{r_0} + \frac{Gm_1}{r_1}
\tag{7}
\]
変数の命名規則と設定
- 天体への付番と変数の命名法
3天体(質点)に0,1,2と付番する。原則として、天体または天体の組に付随する変数には添字にこの番号をつけて区別する。
とくに\(m_0, m_1, m_2 \)は各天体の質量である。
天体への付番は、系の運動に階層化されたケプラー運動をあてはめたときに、 その階層性が \(((m_0,m_1),m_2)\) となるようにする。 - ゼロ質量天体の選択 \(m_2 = 0\) とする。このとき、\(m_0,m_1\)の運動は正確にケプラー運動となり、ケプラー方程式を解くことで 任意時刻における位置を知ることができる。したがって、残る \(m_2 \) の運動が運動方程式の記述対象となる。 1.の原則に従えば状態変数に添字2が付くが、これは大変煩わしいので、例えば位置ベクトル\(\pmb r_2\) を単に \(\pmb r\) と書く。
- 回転座標系およびその原点の設定
\(m_0,m_1\)のケプラー運動は特別な初期条件のもとでは等速円運動になる。その軌道長半径を\(a_{01}\)、平均運動を\(n_{01}\)
とする。直線\(m_0m_1\)を\(x\)軸とする角速度\(n_{01}\)で回転する座標系では、\(m_0,m_1\)は\(x\)軸上の定点となる。
\(m_2\)をケプラー運動で近似するとき、\(m_0\)よりも\(m_0,m_1\)の重心を焦点とする方がよりよい近似になる ことを考慮し、\(m_0,m_1\)の重心を回転座標の原点に取る。この設定のもとで、\(m_0,m_1\)の位置ベクトル \(\pmb r_0, \pmb r_1\)は、つぎで与えられる: \[ \pmb r_0 = (1-\mu) \cdot (a_{01}, 0, 0)^T,\qquad \pmb r_1 = -\mu \cdot (a_{01}, 0, 0)^T,\qquad \mu := \frac{m_1}{m_0 + m_1} \tag{1} \] - ベクトルはボールド体であらわし、慣性系にギリシャ文字 (\(例:\pmb{\rho}\))、回転系にラテン文字 (\(\pmb{r}\)) を割り当てる。
- ベクトルのノルムは対応の非ローマン体で表す(例: \( \|\pmb{r}\| = r \) ) 。
回転系でのラグランジアン
回転系でのハミルトニアン
ルジャンドル変換 \[\begin{eqnarray} {\cal H}(\pmb p, \pmb r) &=& \dot x P_x + \dot y P_y - {\cal L}(\pmb r,\dot{\pmb r}),\qquad \pmb p &=& \left(\frac{\partial {\cal L}}{\partial x}, \frac{\partial {\cal L}}{\partial y}, \frac{\partial {\cal L}}{\partial \pmb z}\right)^T \end{eqnarray} \tag{8} \] によってハミルトニアン \({\cal H}(\pmb p, \pmb r)\) と \(\pmb r\) に対応の正準運動量 \(\pmb p\) が得られる。\(\pmb p\) の各成分 \[ p_x = \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\pmb x}} = \dot{x} - ny,\quad p_y = \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\pmb y}} = \dot{y} + nx,\quad p_z = \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\pmb z}} = \dot{z} \tag{9} \] を代入して、\(\dot{x},\dot{y},\dot{z}\) を消去すればハミルトニアンが \[ {\cal H} = \frac{1}{2}(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) -n_{01}(xp_y - yp_x) - \frac{Gm_0}{r_{02}} - \frac{Gm_1}{r_{12}} \tag{10} \] であることが確かめられる。 しかし、実際にはいったん \(p_x,p_y,p_z\) を消去して、\({\cal H}\) を\(\pmb r,\dot{\pmb r}\)で表示してから、 再び \(p_x,p_y,p_z\) に戻す方が実は計算の見通しがよくなる (このような奇妙な手順を踏む必要があるのは興味深いが、その理由を筆者はしらない)。運動方程式 (ラグランジュ形式)
ラグランジュ方程式
\[
\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial{\cal L}}{\partial \dot{\pmb r}} \right)
- \frac{\partial{\cal L}}{\partial \pmb r} = 0
\tag{11}
\]
を評価すると，運動方程式が得られる．ポテンシアル項\(U\)を分離して，
\[
\begin{eqnarray}
&{\cal L} = T(r,\dot{r}) + U(r)& \\
&T = \frac{1}{2}(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2)
+ \frac{1}{2}n_{01}^2(x^2 + y^2)
+ n_{01}(x\dot y - y\dot x),\qquad
U = \frac{Gm_0}{r_{02}} + \frac{Gm_1}{r_{12}} &
\tag{12}
\end{eqnarray}
\]
とおくと，ラグランジュ方程式は
\[
\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial{T}}{\partial \dot{\pmb r}} \right)
- \frac{\partial{T}}{\partial \pmb r} = \frac{\partial U}{\partial \pmb r}
\tag{13}
\]
と書き換えられる．まず， \(T\) の微分を具体化すると，運動方程式は
\[
\begin{eqnarray}
\ddot{x} &=& + 2n_{01}\dot y + n_{01}^2x + \frac{\partial U}{\partial x} \\
\ddot{y} &=& - 2n_{01}\dot x + n_{01}^2y + \frac{\partial U}{\partial y} \\
\ddot{z} &=& \frac{\partial U}{\partial z}
\tag{14}
\end{eqnarray}
\]
となる．ポテンシアルを改変した計算をする場合には，この中間的な形式も
便利だろう．
右辺の \(U\) の微分 (勾配) の具体的な表式は以下のとおりである。
\[
\begin{eqnarray}
\frac{\partial U}{\partial x} &=&
- \frac{Gm_0(x + \mu a_0)}{ \{(x + \mu a_0)^2 + y^2 + z^2\}^{3/2} }
- \frac{Gm_1 (x - (1 - \mu) a_0)}{\{ (x - (1 - \mu) a_0)^2 + y^2 + z^2 \}^{3/2} }
\\
\frac{\partial U}{\partial y} &=&
- \frac{Gm_0y}{ \{(x + \mu a_0)^2 + y^2 + z^2 \}^{3/2} }
- \frac{Gm_1y}{\{ (x - (1 - \mu) a_0)^2 + y^2 + z^2 \}^{3/2} } \tag{15} \\
\frac{\partial U}{\partial z} &=&
- \frac{Gm_0z}{\{(x + \mu a_0)^2 + y^2 + z^2\}^{3/2} }
- \frac{Gm_1z}{\{ (x - (1 - \mu) a_0)^2 + y^2 + z^2 \}^{3/2} }
\end{eqnarray}
\]
運動方程式 (ハミルトン形式)
正準方程式
\[
\dot{\pmb r} = \frac{\partial {\cal H}}{\partial\pmb p},\quad
\dot{\pmb p} = -\frac{\partial {\cal H}}{\partial\pmb r}
\tag{16}
\]
を評価すると、運動方程式が得られる。ラグランジュ形式のところで導入したポテンシアル \(U(\pmb r)\) を用いて
\[
\begin{eqnarray}
\dot{x} &=& p_x + ny \\
\dot{y} &=& p_y - nx \\
\dot{z} &=& p_z \\
\tag{17}
\dot{p}_x &=& np_y + \frac{\partial U}{\partial x} \\
\dot{p}_y &=& - np_x + \frac{\partial U}{\partial y} \\
\dot{p}_z &=& \frac{\partial U}{\partial z}
\end{eqnarray}
\]
とあらわされる。
