散逸系とは，エネルギーが時間とともに減少または増加する系のことである．摩擦によって熱として力学的エネルギーが失われるのが典型的な例である．通常，ラグランジュ系やハミルトン系に散逸力を入れるには， 一次元空間上の位置$x$，速度$v=\dot{x}$，ラグランジアン$L=L(x,\dot{x})$に対して， $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=Q$$ のようなかたちで外力としてとりいれるしかない． ここで，$Q$はいわゆる散逸力で，その仕事により力学的エネルギーが減少する．

しかし，一次元の簡単な場合であればラグランジュ系やハミルトン系にできる．例として，速度に比例する抵抗力を受ける場合の運動方程式 $$\begin{array}{rcl}\frac{dv}{dt}& =& -kv\end{array}$$ を考える． ここで，単位質量の質点の運動を考え，速度と運動量を同一視する． 運動方程式の両辺を時間で積分すると $$\begin{array}{r}v(t)-v(0)=-k(x(t)-x(0))．\end{array}$$ これは速度$v$を位置$x$の関数として表す式になっている．ただし初期条件$x(0)$,$v(0)$が含まれている．これらを単なるパラメータとして扱うことを強調して $x_0=x(0),v_0=v(0)$とおき，もとの運動方程式に代入すると，ポテンシアルを使った表現に書き換えることができる: $$\begin{array}{rcl}\frac{dv}{dt}& =& -k[v_0-k(x-x_0)]\\ & =& -k\frac{\partial }{\partial x}[v_{0}x-\frac{k}{2}(x-x_0{)}^2]\end{array}$$ すなわち， $$U=k[v_{0}x-\frac{k}{2}(x-x_0{)}^2]$$ がポテンシアルである． ハミルトニアンを $$H(x,v)=\frac{v^2}{2}+k[v_{0}x-\frac{k}{2}(x-x_0{)}^2]$$ で定義すると， 正準方程式 $$\frac{dx}{dt}=\frac{\partial H}{\partial v},\frac{dv}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial x}$$ は上述の運動方程式を与えるので，ハミルトン系に書き換えることができたことになる．

しかし，速度比例抵抗だけというのもあまり面白い力学系ではない．通常は重力やばねの復元力などの保存力が働く．重力の場合 $$\frac{dv}{dt}=g-kv$$ は，無理矢理 $vf(v)$ の形でできるので，上述の議論に落とせる．他方，復元力$-\kappa x$は座標依存性がでてくるので うまくいかない．シンプレクティック積分法のように，$-\kappa x$だけ，$-kv$ だけのハミルトン系を混ぜることが一案 として考えられるが，きれいなハミルトニアンにはならないだろう．というところで，筆を置く orz.