集合論(Set Theory)その1

 数学の言葉である集合に関する用語、記号を説明する。集合論を創始したのはカントールである。


集合
 思考の対象で、一定範囲にあるものを1つの全体として考えたものを、それら対象の集合という。以下に集合でよく用いる記号と法則を書き並べ、その説明をする。 だいたい大文字 A, B, C,・・・は集合を表す。

① a ∈ A : a が A の要素または(element)である。 a が A に属する(belong)。 あるいは A が a を含む(contain)。

①’: ①の否定

 (以後、一般に否定はその記号にスラッシュ "/" を重ねて表す。

①" ∀:「すべての」、「任意の」という意味で、集合Aに含まれる任意の元 a を 「∀a ∈ A」 と書く。
  ∃:「存在する」、「ある」という意味で、元 a が集合Aの中に存在することを 「∃a ∈ A」 と書く。

② A = { 1,2,3,4,5 } : A の内容を要素を書き並べて表した。

③ A = { x | x < 6, x ∈ N } :  A の内容を要素の性質を述べて表した。

④ A ⊂ B : A の要素がすべて B の要素になっているという意味で、A は B に含まれる、またはA は B の部分集合(subset)である、という。(特に A = B の場合もある。 つまり、一般に A ⊂ A である。)

⑤ A ⊂ B かつ B ⊂ A ⇔ A = B : 左は2つの集合 A と B が等しいということの定義(集合の相当)。右はそれを記号で表した。

⑥ A ∪ B :  A と B の要素をすべて合わせた集合。和集合(sum)という。

⑦ A ∩ B :  A と B の両方に含まれる要素をすべて合わせた集合。積集合(共通部分)(intersection)という。

⑧ φ :  要素を全く持たない集合。空集合(empty set)という。

空集合は任意の集合の部分集合と考える。すなわち、任意の集合Aに対して φ ⊂ A である。

⑨ A - B : Aに属してBに属さない元からなる集合。差集合

⑩ Ac :  ある集合 U(全体集合)の中で、集合 A に含まれない要素のすべてを合わせた集合。A の補集合(complement)という。この定義から (Ac)c = A が成り立つ。

⑪ (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc,  (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc :  ド・モルガンの法則 (De Morgan's law)   証明

⑫ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),   A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) : 分配法則 (distributive law) 証明

⑬ A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C,   A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C : 結合法則 (associative law) 証明

⑭ A ∪ (A ∩ B) = A,   A ∩ (A ∪ B) = A : 吸収法則 (absorption law) 証明

⑮ A ∪ B = B ∪ A,  A ∩ B = B ∩ A : 交換法則 (commutative law)

⑯ n(A) : 集合Aの要素の個数を表す。n(A) < ∞(有限)のとき、Aを有限集合(finite set)といい、そうでないとき無限集合(infinite set)という。

 A、B、C が有限集合のとき次の2式が成り立つ。
⑰ n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B),  n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)


直積集合
 与えられた集合からサイズのより大きな集合を作る方法を紹介する。

 二つの集合 A, B に対して、それぞれの集合から元を一つずつ取り出して (a ∈ A, b ∈ B)、 順序を込めてこれらを組にした順序対(ordered pair) (a, b) の全体を A, B の 直積集合(cartesian product)といい A×B とかく。すなわち

A×B = { (a, b) | a ∈ A, b ∈ B }


である。一般に、

A1 × A2 ×・・・× An = { (a1, a2, ・・・, an) | a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, ・・・, an ∈ An }


を集合 A1, A2, ・・・, An の直積集合という。特に、実数R = A1 = A2 = ・・・ = An のとき、R×R×・・・×RRn とかき、この

Rn = { (r1, r2, ・・・, rn) | riR, i=1,2,・・・,n }


n次元数空間Rn(n-dimensional number space) という


集合族
 集合 A に対して、その部分集合が考えられるが、それは A の部分集合を要素とする集合が存在することを意味する。たとえば、A = { a, b, c } ならば、

{a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}


は A の部分集合である。したがって、集合

{ {a}, {c}, {a, b} }


は、集合を要素とする集合である。一般に集合を要素とする集合を集合族(family of sets)という。また、部分集合の定義から集合 A 自身も A の部分集合であり、空集合もその部分集合と定める。したがって、A の部分集合の全体

{φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, A }


となり、これを A のべき集合(power set)と呼び、2A とかく。

同値関係と商集合
 X を集合とし、 X の要素(a, b, c・・・)の間に関係 ~ が定義されていて、次の3条件

(1) a  ~ a  が成り立つ
(2) a  ~ b ⇒  b ~ a が成り立つ
(3) a  ~ b かつ b ~ c ⇒  a  ~ c  が成り立つ

を満たすとき、関係 ~ を同値関係(equivalent relation)という。また、a  ~ b  を a は b と同値であるという。

 a に同値な要素の全体を [a] とかくと、 [a] は X の部分集合で、 a の同値類(equivalent class)という。

 このとき、
 a  ~ b  ⇔  b∈ [a]  すなわち  [a] = [b]
 a   b ⇔  b [a]  すなわち [a]∩[b] = φ

したがって、 X は異なる同値類で分割される。この同値類の全体(集合)を X の商集合(quotient space)といい、 X/~ と書く。

写像
 集合から集合への対応としての写像を紹介する。

集合 A, B に対して、∀a (∈ A) に、 ∃b (∈ B) がただ一つ定まる対応 f が定められているとき、f を A を定義域(domain)とする B への写像(mapping)、または単に A から B への写像といい、

f : A  → B


とかく。このとき、b を a の(image)、a を b の元像(inverse image)といい、f(a) = b とかく。さらに、像の集合 { f(a) | a ∈ A } を値域(range)といい f(A) とかく。また、値域が n次元数空間の部分集合である写像を、関数と言ったりする。

一般に
f(A) ⊂ B
が成り立つ。



上への写像(全射)
A から B への写像 f に対して、B のすべての要素に元像が存在するとき、すなわち

f(A) = B
が成り立つとき、 f は上への写像である(onto mapping)または全射(surjection)という。

1対1の写像(単射)
f(a1) = b1, f(a2) = b2 に対して

b1 = b2  ならば  a1 = a2
が常に成り立つとき、f は1対1の写像である(one to one mapping)または単射(injection)という。

同型写像(全単射)
写像 f(f : A → B) が、1対1で上への写像のとき同型写像(isomorphism)または全単射(bijection)という。
このとき、集合 A と B は同型であるという。

3つの集合 A, B, C に対して f は A から B への写像、 g は B から C への写像とする。このとき、 a を b の元像、 b を c の元像とすると、 a を c の元像とする写像 h が定義される。これを f, g の合成写像(composite)といい、
h = gof
とかく。関係式として
h(a) = (gof)(a) = g(f(a)) = g(b) = c

が成り立つ。

逆写像
 f が集合 A から B への全単射であるとし、f(a) = b とする。このとき、B から A への写像 g が次のようにして定まる。

g : b ∈ B → a ∈ A ( f(a) = b )
この g を f の逆写像(inverse map)といい、f-1 と書く。

恒等写像
 全単射 f (f : A → B)とその逆写像 f-1 の合成写像 f-1o f は A から A への写像で任意の元 a ∈ A をそれ自信に対応させる恒等写像 id(identity)

f-1o f = id : a ∈ A → a ∈ A
である。

 与えられた集合から新たな集合をつくる方法を3つ紹介した。直積集合、べき集合、商集合どれも現代数学的思考のキーとなる概念である。なぜなら、現代数学では、あらゆる概念が集合を基礎として構成されるからである。通常、数学的構造は代数構造にしろ幾何構造にしろ、一つの集合に上部構造としてある集合を与える形で表現されるからであり、それらの集合は多くの場合、はじめに与えられた集合とはレベルの異なる集合になる。それゆえ、われわれには機動的にさまざまなレベルの集合に意識がスイッチできることが要求される。対象を正確に捉えるためには、その対象がどこにあるのか、いかなる集合の要素であるのかをおさえることは大事なことで、いろいろな作用(一般に、演算とか写像とは)を正確に捉えるには、どの集合からどの集合への写像であるのかを抑えなくてはならない。よくあることだが、R3からR3への写像の場合、二つのR3を考えて、その間の写像をイメージするわけだが、R3を現実の世界ととらえると、「現実の世界が二つあって、その二つの現実の世界が入っている世界とはどんな・・・?」 と思考が行き詰まってしまう。しかし、数学は現実の世界を扱っているのではない。R3が縦、横、高さをもつ現実の世界をよく表現してくれるものではあっても、それは現実の世界ではない。R3は数学の世界に存在するものであるから、われわれは必要な限りいくつでもコピーをとって考える。しかし、それらコピーすべてを含む世界、すなわちそれらが入っている入れ物としての空間を考えたりはしない(必要のない限り)。頭の中に二つなら二つのR3を考え、それらの間に写像で対応があるものとしてイメージするだけだ。いわばわれわれは宇宙を外から眺めている。宇宙を外から眺められるのは、たぶん、神様だけだろうから、われわれはいつも神の立場にたってものを見ているようなものだ。
 また、写像が同型であるとはどんな意味だろうか。写像は集合と集合の間の対応であるから、写像の性質は集合のある性質を反映していると考えられる。したがって、1対1で上への写像というものは、集合間に”同じ性質”があるかないかを教えてくれると考える。そして集合論ではこの同型対応がつく集合同士は集合としては同じものと考えようという立場をとる。つまり、各集合の構成要素については何も論じない。その集合に属する要素のことをいろいろ調べるのは、その集合についてだけの特殊論となる。したがって、いつでも人は何について調べようとしているのかをはっきりさせておかないと、見当違いのものの上で議論してしまうというミスを犯す。要素の性質を調べたいのか、それが構成要素となる集団(集合)のことを調べたいのかだ。
 この後、同型写像という概念を使って、無限集合について興味あること(無限集合はどれくらいあるのか、無限にもいろいろあるのか)を調べる予定だ。