ロジスティック写像



ロジスティック写像とは

 アメリカの数理生物学者ロバート・メイは、ロジスティック方程式と呼ばれる次の差分方程式を用いて、生物の個体数の変動を研究しました。

X(n+1) = a・X(n)・(1-X(n))    


 ここで、nは世代(n=0,1,2,3・・・)、X(n)は世代nにおける個体数を規格化した値(0<=X(n)<=1)、aは繁殖率(0<=a<=4)を示します。
 この式より、ある世代の個体数がわかれば、次の世代の個体数が計算できます。この写像f=ax(1-x)を、ロジスティック写像といいます。


ロジスティック写像の振舞い

 それでは、X(n)の振舞いを調べましょう。X(n)の振舞いは、aの値により大きく変化し、次のようになります。

0<=a<=1            ⇒  X(n)は0へ単調に収束


1< a<=2           ⇒  X(n)は1-(1/a)へ単調に収束


2< a<=3           ⇒  X(n)は1-(1/a)へ振動しながら収束


3< a<=3.5699456・・・   ⇒  X(n)は2のべき乗個の周期点を振動


3.5699456・・・< a<=4   ⇒  X(n)の変動は不規則で、特定の周期をもたない(カオス領域)

                    ただし、この領域にもX(n)が周期的になる領域が存在(周期性の窓)



ロジスティック写像の体験コーナー

 上記のようなロジスティック写像の振舞いを、実際に体験してみましょう。

aをパラメータとして、X(n)とX(n+1)の関係を表示   ⇒   ロジスティック写像のリターンマップ


過渡状態を除いたXの値とaの関係を表示       ⇒   ロジスティック写像の分岐図



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