第9回 基礎数学U
12月14日(火）3時限目（13:00〜14:30） W101
概要 テイラーの定理から関数の多項式近似を考える。 補足、 問題９
キーワード １次近似、テイラーの定理、n次近似式、テイラー展開、マクローリン展開、剰余項、
1次近似式は、関数のy座標f(x)をｘの1次式で近似したわけですが、2次式で近似すること、さらには、3次式、4次式で近似することなど、一般にｘの多項式で近似することを考えて見ましょう。
テイラーの定理
証明
証明終
関数 f(x) の多項式近似
Rn+1 を剰余項といい、近似式との差をあらわす。
さらに、もし、f(x)が無限回微分可能で、ｎ−−＞∞ のとき、Rn+1−−＞０が成り立つならば、つぎのテイラー展開が得られる。
さらに、a＝０としたときを、次のようにマクローリン展開という。
補足
無限級数の収束
収束半径
フーリエ級数
問題９
次の関数はいずれも括弧内の範囲でマクローリン展開できることがわかっている。そのマクローリン展開を求めよ。
- sin x （−∞＜ｘ＜∞）
- cos x （−∞＜ｘ＜∞）
- ln(1+x) （−１＜ｘ＜１）
- cosh x （−∞＜ｘ＜∞）