カプレカ数

2018.12.25

 たまにはということで、今年の最後は数学の散歩道です。数学のことは「数学の意外性・美しさ」と題して2016年1月10日に書いたことがある。今日の「算数の不思議」とでもいうべき内容で、4桁の足し算と引き算ができればどなたでも簡単に確かめることができるので、是非ご自分で試してみて頂きたい。
 カプレカ数というものがある。インドの数学者Kaprekarが発見したので、この名が付いている。2種類あるのだが、初めに書いたように足し算引き算で見つけることができる数字の方だけ紹介する。 見つけ方は以下のように簡単である。
 ① 任意の4個の数字を想定する(但し、4個とも同じ数字のものは除く、またゼロを1個含む場合の
   最小数は千の位がゼロになるので実際には3桁の数字になる。ゼロを2個含む場合は2桁になる)
 ② 4桁の数字が最も大きくなるように並べ換える
 ③ 4桁の数字が最も小さくなるように並べ換える
 ④ ② − ③を計算し、その答えを②、③の操作で並べ替えて、同様に引き算をする
 この操作を繰り返すと、最初に設定した数字が何であってもある決まった数字になる。この数字がカプレカ数である。例として、今日の日付12月25でやってみよう。
    1225 → 5221と1225
    5221 – 1225 = 3996 → 9963 と3699
    9963 – 3699 = 6264 → 6642 と2466
    6642 – 2466 = 4176 → 7641 と1467
    7641 – 1467 = 6174 → 7641 と1467
 以下は最後の式の繰り返しになるので、6174がカプレカ数であることが判る。実は4桁の場合はこの数字しかないということだ。2018の場合は3回目の引き算の答えが6147になる。
 ちなみに3桁ではどうだろう。6174の下3桁の174でやってみよう。なんと2回目の引き算で最初の引き算と同じ数字に組み合わせとなり、495がカプレカ数であることが判る。
    174 → 741 と147
    741 – 147 = 594 → 954 と459
    954 – 459 = 495 → 954 と459
 3桁の最も小さい数字100から始めると、最初の引き算は100 – 001 = 99、2回目は、990 – 099 = 891、以下981 – 189 = 792, 972 – 279 = 693, 963 – 369 = 594, 954 – 459 = 495という具合に6回目の引き算で495にたどり着く。何か理屈や証明が有るのだろうが、不思議な気がする。
 どうぞ、良いお年をお迎え下さい。